فایلساز
فروشگاه فایلساز ، فروش فایل ارزان , فروش ارزان فایل, پروژه, پایان نامه, مقاله و ...فایلساز
فروشگاه فایلساز ، فروش فایل ارزان , فروش ارزان فایل, پروژه, پایان نامه, مقاله و ...بررسی اطمینان بخشی سیستم توزیع
| دسته بندی | فنی و مهندسی |
| فرمت فایل | doc |
| حجم فایل | 459 کیلو بایت |
| تعداد صفحات فایل | 87 |
پژهش بررسی اطمینان بخشی سیستم توزیع در 87 صفحه ورد قابل ویرایش
اطمینان بخشی سیستم توزیع
فهرست مطالب :
1- تعاریف اولیه 6 - 1
2- محدودیتهای سیستم توزیع 7 - 6
3- ترازهای اطمینان بخشی توزیع 9 - 7
4- مروری بر آمار و احتمالات و مفاهیم ریاضی پایه برای مبحث اطمینان بخشی 18 - 9
5- سیستمهای سری 20- 18
6- سیستمهای موازی 21- 20
7- سیستمهای سری موازی 74- 21
8- واژگان انگلیسی 79- 75
9_منابع و ماخذ 80
مفاهیم کلی
خروج: از مدار خارج شدن مؤلفة سیستم توزیع را بر هر دلیلی خروج آن مؤلفه می گویند.
خروج بابرنامه: از مدار خارج شدن مؤلفه ای بصورت عمدی و با برنامی قبلی را خروج با برنامة آن مؤلفه می گویند.
خروج اجباری: خروجی که بر ارادة بهره بردار در انجام آن نقشی نداشته و بعلت ایجاد شرایط اضطراریِ خاص آن مؤلفه، خروج بصورت اجباری انجام می شود.
خروج اجباری گذرا: درصورتی که علت خروج فوراً از بین برود، و مؤلفة خارج شده (بصورت اجباری) بتواند بصورت اتومات به مدار باز گردد، خروج اجباری را خروج اجباریِ گذرا می نامند.
خروج اجباری دیرپا: خروج اجباری که گذرا نباشد دیرپا خواهد بود.
خروج جزئی: خروجی که درآن تنهای قسمتی از یک مؤلفه از مدار خارج شده است. بعبارت دیگر ظرفیت و یا کیفیت انجام وظیفة مولفة مذکور کاهش می یابد.
بدیهی است امکان به تعویق انداختن خروج بابرنامه وجود دارد، در حالی که چنین امکانی برای خروج اجباری وجود ندارد.
بلوک دیاگرام زیر انواع خروجها را نشان می دهد:
قطع (Interruption): رخ دادن وقفه در خدمت رسانی به یک یا چند مصرف کننده را قطع شدن این مصرف کننده ها می گویند.
قطع اجباری(Forced Interruption): قطع ناشی از خروج اجباری را قطع اجباری می گویند.
قطع با برنامه(Scheduled Interruption): قطع ناشی از خروج با برنامه را خروج با برنامه می گویند.
قطع ها از نظر زمان بر طرف شدنشان نیز به سه دسته تقسیم می شوند.
1- قطع آنی(Instantaneous Interruption): قطعی است که در کمتر از یک دقیقه قابل رفع می باشد.
2- قطع موقتی(Mometary Interruption): قطعی است که برطرف کردن آن معمولاً یک تا دو ساعت طول می کشد.
3- قطع طولانی(Long Interruption): قطی است که بیش از چندین ساعت زمان برای بر طرف کردنش لازم است.
فلوچارت زیر، علل عمدة خروج در شبکة توزیع را نشان می دهد.
اطمینان بخشی در واقع سلامت سیستم و اجتناب از خروج هایی که ممکن است رخ دهند، را توصیف می کند. و کفایت نیز به کافی بودن ظزفیت سیستم برای تأمین نیازهای انرژی برق مشترکان اشاره می کند.
شاخص های اطمینان بخشی(Index of Reliability):
مطابق پیشنهاد کمیتة IEEE گزارش خروج دستگاهها بایستی دارای توضیحات زیر باشد:
1- نوع، طرح، سازنده و توضیحات دیگری برای طبقه بندی
2- تاریخ و محل نصب
3- عامل خرابی (آذرخش، درخت، خطای بهره بردار)
4- مد خرابی (اتصال کوتاه، اضافه بار)
5- زمان شروع خرابی (خروج) و زمان بازگشت، ذکر تاریخ وشرایط جوی بهنگام خرابی
6- نوع خروج (اجباری، با برنامه، گذرا و دیرپا)
علاوه بر اطلاعات مذکور بهتر است که در تهیة گزارش خروج موارد زیر نیز قید گردند:
· گزارش تعداد کل دستگاه (مؤلفه) های مشابهِ در حال کار، برای تعیین نرخ خروج هر مؤلفه در کار سالانه
· گزارش خروجهایی که با عث رخ دادن قطعی در شبکة توزیع شده است.
بایستی خاطر نشان ساخت که گزارش خرابیها اطلاعات با ارزشی را برای برنامه های نگهداریِ پیشگیرانه و تعویض دستگاهها، فراهم می کند.
در عمل بین اطلاعات حاصله از گزارشها و آنچه که از قبل پیش بنی شده است، بدلایل زیر اختلافاتی وجود دارد.
1- تعریف خرابی
2- اختلاف بین محیط واقعی و محیط پیش بینی شده
3- قابلیت نگهداری و آزمایش دستگاه ها و میزان تخصص کارکنان
4- ساخت مؤلفه ها و نرخ خرابی مفروض برای مؤلفه ها در پیش بینی ها
5- فرآیند ساخت، شامل بازرسی و کنترل کیفیت
6- توزیع زمانی تا وقوع خرابی
7- استقلال خرابی مؤلفه ها
گزارش پیش بینی منطقه ای و ملی بار سالانه و تحلیلهای قابلیت اطمینان بخشی شبکة توزیع در برخی از کشورها (ایالات متحدة آمریکا) برعهدة انجمنی بنام انجمن ملی اطمینان بخشی برق می باشد. انجمنهای منطقه ای اطمینان بخشی روشهای طرح ریزی و بهره برداری سیستم توزیع را برای شرکتهای برق رسانیِ عضو تهیه می کند، تا قابلیت اطمینان بخشی بهبود یافته و هزینه ها کاهش یابند.
بنا به مطالعات انجمن ملی اطمینان بخشی برق، می توان نتایج زیر را در مورد اطمینان بخشی سیستم بیان نمود:
1- معمولاً 50 درصد خروجها در کمتر از 6 دقیقه و 90 درصد در کمتر از 7 ساعت قابل برگشت به مدار هستند.
2- چون خروجهای سیستم توزیع اغلب گزارش نمی شوند (بدلیل کوچک بودن آنها در مقابل خروجها و خرابی های سیستم انتقال و بخش تولید)، میزان خروجی های شبکة توزیع گزارش شده، نسبت به سیستم انتقال و تولید تنها 7 درصد است. ولی در حقیقت مطابق گزارشهای انجمن اطمینان بخشی برق، تقریباً 80 درصد از کل قطعی های پیش آمده به دلیل خرابی و خروج در سیستم توزیع رخ می دهند.
3- با اینکه روشهای مناسبی برای ارزیابی اطمینان بخشی سیستم توزیع وجود دارد، اما داده های مربوط به کارایی اطمینان بخشی، برای تعیین مؤثرترین شیوة سرمایه گذاری کافی نمی باشد.
4- بیشتر قطعی های توزیع بر اثر شزایط جوی ایجاد می شوند ضمن اینکه عملکرد نامناسب بهره بردار می تواند مزید بر علت باشد.
5- بدیهی است با کاهش زمان تشخیص خرابی و واکنش سریع و مناسب نسبت به رفع آن، می تواند اطمینان بخشی سیستم توزیع را افزایش دهد.
محدویتهای موجود در سیتم توزیع
برای داشتن عملکرد مطمئن در سیستم توزیع بایستی به محدودیتهای موجود سیستم توزیع توجه شود که به برخی از آنها در ادامه اشاره می گردد.
1- محدویتهای گرمایی (Thermal limitations) : بایستی توجه داشت که جریان عبوری از تجهیزات شبکة توزیع از میزان حد مجاز تعیین شده برای آنها تجاوز نکند.
2- محدویتهای اقتصادی (Economic limitations): گاهاً ممکن است شرایطی پیش آید که برای با لا بردن قابلیت اطمینان شبکة توزیع نیاز به صرف هزینة مالی زیادی باشد که از نظر اقتصادی به صرفه نمی باشد. در این حالت معمولاً بهینه ترین حالت را در نظر گرفت.
3- اضافه ولتاژ و افت ولتاژ (Over-Voltage & Voltage drop): برای افزایش قابلیت اطمینان بخشی بایستی دامنة ولتاژ در حد استانداردِ خود حفظ شود.
4- ظرفیت جریان مجاز (Fault current capability): یکی از شاخصهایی که بایستی تحت کنترل بوده و میزان آن پیش بینی شود جریان عبوری از تجهیزات شبکه است بخصوص در ناحیه هایی که رشد مصرف کنندگان در آن نواحی قابل ملاحظه است.
5- وجود چاک در شکل موج ولتاژ و پدیدة فلیکر (Voltage Flicker & Dip): ولتاژ سیستم توزیع بخاطر وجود بارهای القایی و کوره های قوس الکتریکی دارای نوسان خیلی کوچکی است اصطلاحاً فلیکر ولتاژ نامیده می شود. علاوه بر آن ممکن در برخی از مواقع ولتاژ شبکه دارای فرو افتادگیهای شدیدی باشد. این دو پدیده نیز جز محدویدیتهای شبکه توزیع هستند و برای تحلیلهای اطمینان بخشی به سیستم توزیع بایستی در نظر گرفته شوند.
6- هارمونیکها و فرکانس: هارمونیکهای موجود در ولتاژ شبکة توزیع باعث کاهش کیفیت ولتاژ و در نتیجه کاهش کیفیت قابلیت اطمینان شبکة توزیع می شود.
ترازهای مناسب اطمینان بخشی شبکة توزیع
خدمت رسانی شرکتهای برق به مصرف کنندگان بایستی پیوسته و با کیفیتی قابل قبولِ مشترکان خود باشد. منظور از خدمت رسانی برق پیوسته، تأمین تقاضای مورد نیاز مشترک، بهمراه تأمین ایمنی افراد و دستگاه ها است. و منظور خدمت رسانی با کیفیت، تأمین تقاضای مشترک و فرکانس مورد توافق است.
یک شرکت برق برای حفظ خدمت رسانی اطمینان بخش مشترک خود، باید دارای انرژی ذخیرة کافی در سیستم خود باشد تا در هنگام خروج مؤلفه ای از سیستم، کل سیستم همچنان امکان خدمات رسانی به مشترکان خود را بگونه ای داشته باشد تا به مصرف کننده ها حداقل خسارت وارد گردد و حتی در صورت امکان هیچ خسارتی به مصرف کننده ها وارد نشود.
از جمله ابزار مفید در تعیین هزینه های لازم برای بهبود اطمینان بخشی، تحلیل اقتصادی اطمینان بخشی سیستم است. چراکه بدین ترتیب می توان مقدار واقعی سرمایه گذاری لازم در سیستم را بدست آورد.
تراز اطمینان بخشی توزیع؛
عبارتست از سطحی از اطمینان بخشی که در آن شرکت برق رسانی کمترین هزینة اقتصادی را متقبل می شود. فرض کنید که نشان دهندة تابع اطمینان بخشی، نشان دهندة هزینة خسارت وارده به مشترکان بر اثر وقوع قطعی، هزینة لازم برای رسیدن سطح اطمینان بخشی، و کل هزینة انجام گرفته باشند. تراز اطمینان بخشی() عبارتست ازای که در آن کمترین مقدار خود () را داشته باشد. بنابراین داریم:
(1)
(2)
(3)
شکل1 منحنی توابع هزینة و مکان تراز اطمینان بخشی را نشان می دهد. همانطور که در این شکل مشاهده می شود، با افرایش اطمینان بخشی، افزایش یافته و کاهش می یابد. بسیاری از شرکتهای برق رسانی شبکة توزیع خود را در تراز قطع معینی، مثلاً تک قطع، طراحی می کنند تا رخ دادن یک خرابی بعلت وجود ظرفیت کافی انرژی (به ازاء یک قطع) و وجود روشهای مختلف کلید زنی، باعث ایجاد قطعی در سیستم توزیع نشود. بنابراین تحلیل قطع مدار، به تعیین ضعف ترین نقاط شبکة توزیع کمک می کند.
اطمینان بخشی
عمل یا آزمایش تصادفی: عملی که نتیجة آن از قبل قابل پیشبینی نیست. مانند؛ زمان خراب شدن مؤلفه ای از سیستم توزیع. بایستی توجه داشت که ممکن است شرایط محیط و ویژگیهای خود سیستم (مؤلفة سیستم) بگونه ای باشد که حدود زمان رخ دادن خرابی را برای آن مؤلفه مشخص نمود، ولی با این حال نمی توان بصورت قطعی زمان خرابی این مؤلفه از سیستم را مشخص نمود. اما بکمک عمل احتمال و داشتن داده های صحیح، میزان امکان رخ هر کدام از حالتهای مختلف یک عمل تصادفی را محاسبه نمود.
هر کدام از نتایج حاصله از یک عمل تصادفی را پیشامد تصادفی می نامند.
فضای نمونه( ): به مجموعة کلیة نتایج ممکن از یک آزمایش تصادفی می گویند.
پیشامد ساده: هریک از حالات ممکنه را که قابل تقسیم به حالتهای جزیی تر تقسیم کرد، یک پیشامد ساده می گویند. پیشامدهای ساده نمی توانند هزمان رخ دهند، ضمن آنکه مجموع آنها کل فضای نمونه را در بر دارد.
مثال: رخ دادن خرابی در ترانسفورمرهای موجود در یک سیستم توزیع را می توان بعنوان یک عمل تصادفی تلقی نمود. در این حالت خراب شدن هر کدام از ترانسفورمرها یک پیشامد ساده می باشد، حال آنکه خرابی ترانفورمرهایی که تاکنون تعمیر نشده اند، پیشامد ساد نیست چرا که خود از شامل چندین پیشامد ساده (خرابی یکی از این ترانسفورمرها) تشکیل شده است.
هر پیشامد تصادفی بر اساس تعریفی که برای آن صورت گرفته است، ممکن است شانل یک یا چندین پیشامد ساده باشد.
زیر پیشامد ( ): پیشامد را زیر پیشامد می گویند، اگر و فقط اگر تمام حالتهای قائل شده برای پیشامد، برای نیز لحاظ شده باشد.
اشتراک ( ): عبارست از تمام حالتهای تعریف شده هم برای پیشامد و هم برای پیشامد .
دو پیشامد جدا از هم: دو پیشامد را جد از هم گویند اگر و فقط اگر هیچ حالت مشترک برای آنها وجود نداشته باشد، بعبارت دیگر اشتراک آنها تهی باشد.
جدا از هم)( (4)
اجتماع ( ): عبارست از تمام حالتهای تعریف شده برای پیشامد یا برای پیشامد .
تفاضل ( ): عبارتست از تمام حالتهای تعریف شده برای که در وجود ندارند.
متمم پیشامد (): تمامی حالتها از فضای نمونه، که در پیشامد موجود ندارد.
(5)
تفاضل متقارن (): تمای حالتهایی که یا در، یا در، ولی نه در هر دوی این پیشامدها، وجود دارند، را تفاضل متقارن این دو پیشامد می گویند
(6)
اصول شمارش: فرض کنید کار به طریق با نامهای و کار به طریق با نامهای، بتوان انجام داد؛
الف) اصل جمع: اگر انجام کار منوط به انجام کار یا کار باشد، آنگاه کار را به طریق با نامهای می توان انجام داد.
ب) اصل ضرب: : اگر انجام کار منوط به انجام کار و کار باشد، آنگاه کار را به طریق با نامهای (و) می توان انجام داد.
ترتیبتاییِ شیء (): عبارتست از تعداد حالات مختلف کنار هم قرار گرفتن از بینشیء، بگونه ای که چگونه کنار هم قرار گرفتن آنها دارای اهمیت می باشد.
(7)
ترکیبتاییِ شیء (): عبارتست از تعداد حالات مختلف کنار هم قرار گرفتن از بینشیء، بگونه ای که چگونه کنار هم قرار گرفتن آنها دارای اهمیت نمی باشد.
(8)
شمارش از طریق مهره ها (): با فرض اینکه جعبه را بخواهیم با تعداد مهره پر کنیم، بسته به اینکه مهره ها متمایز یا غیر متمایز باشند و یا اینکه گذاشتن مهره ها در جعبه ها بصورت مکرر، مجاز و یا غیر مجاز باشد، چهار حالت وجود خواهد داشت:
الف) مهره ها متمایز و مهرة مکرر مجاز باشد:
(9)
ب) مهره ها متمایز و ریختن مهرة مکرر غیر مجاز:
(10)
ج) مهره ها غیر متمایز ریختن مهره های مکرر غیر مجاز:
(11)
د) مهره ها غیر متمایز ریختن مهره های مکرر مجاز:
(12)
احتمال یک پیشامد تصادفی (): عبارتست از عددی بین صفر و یک که میزان درجة اتفاق افتادن آن پیشامد تصادفی را در هر بار انجام آزمایش تصادفی نشان می دهد.
آزمایش تصادفی یکنواخت: اگر تمام پیشامدهای ساده دارای احتمالهای یکسان باشند، آنگاه آزمایش تصادفی مذکور را یکنواخت گویند.
(13)
برخی از قضایای مهم احتمال:
پیشامد شرطی(): عبارست از احتمال رخ دادن پیشامد، بشرط اینکه پیشامد رخ داده باشد.
(15)
احتمال مرکب: فرض کنید فضای نمونة توسط پشیامدهای جدا از همِ، افراز شده باشند. آنگاه برای هر پیشامد دیگری نظیر داریم:
(17)
(18) همچنین داریم (فرمول بیز):
دو پیشامد مستقل از هم: دو پیشامد که رخ دادن هر کدام از آنها روی وقوع پیشامد دیگر تأثیری نداشته باشد، را مستق از هم گویند.
مستقل از هم) ( (19)
متغیر تصادفی: تابع حقیقی که دامنه اش فضای نمونه ای نظیر، و برد آن زیر مجموعه ای از اعداد حقیقی است، را متعیر تصادفی می نامند. هرگاه شمارش پذیر باشد، گسسته و در غیر این صورت پیوسته خواهد بود.
تابع توزیع احتمال: تابع حقیقی را تابع توزیع احتمال می نامند.
خواص تابع توزیع احتمال:
الف)
ب) تابعی غیر نزولی است
ج) بعبارت دیگر از سمت راست تابعی پیوسته است
تابع چگالی احتمال (): مشتق تابع در نقطة را تابع چگالی احتمال در آن نقطه می گویند.
(20
امید ریاضی یک متغیر تصادفی (): عبارتست محتمل ترین حالتی () که امکان رخ دادن آن وجود دارد.
در حالت کلی امید ریاضی برای تابع عبارتست از:
(22)
برخی از متغیرهای تصادفی معروف
1- متغیر تصادفی برنولی: عبارتست از متغیر تصادفی () که تنها دارای دو حالت (شکت: و پیروزی:) است. اگر احتمال پیروزی برابر با باشد، آنگاه تابع چگالی احتمال متغیر تصادفی برنولی عبارتست از:
(23)
2- توزیع دوجمله ای: تعداد پیروزیها () برای حالتی که یک آزمایش تصادفی برنولی بار انجام بطور مستقل از هم انحام شده است را متغیر تصادفی با توزیع دو جمله ای می نامند. اگر احتمال پیروزی برای هر بار انجام آزمایش برابر با باشد، آنگاه تابع چگالی احتمال متغیر تصادفی با توزیع دوجمله ای عبارتست از:
(24)
امید ریاضی متغیر تصادفی با توزیع دو جمله ای عبارتست از:
(25)
-3متغیر تصادفی نرمال: متغیر تصادفی پیوستة در بازة نرمال نامیده می شود اگر و فقط اگر تابع چگالی احتمالی آن، بصورت زیر تعریف شود:
(26)
امید ریاضی متغیر تصادفی نرمال می باشد.
4- متغیر تصادفی پواسن: عیارتست از متغیر تصادفی گسسته ای () که تعداد رخ دادن حالت مورد نظر در فواصل زمانی یا در ناحیة مکانی، را نشان می دهد. اگر نشان دهندة میانگین تعداد حالت مورد نظر در فاصلة زمانی، و یا ناحیة مکانی مشخص شده باشد، آنگاه تابع چگالی احتمال متغیر تصادفی پواسن عبارت خواهد بود از:
(27)
امید ریاضی متغیر تصادفی پواسن نیز برابر است.
5- متغیر تصادفی پیوستة نمایی: متغیر تصادفی پیوستة در بازة نمایی نامیده می شود اگر و فقط اگر تابع چگالی احتمالی آن، بصورت زیر تعریف شود:
(28)
امید ریاضی متغیر تصادفی نمایی نیز برابر است. متغیر تصادفی نمایی معمولاً برای محاسبة زمان بین دو اتفاق و یا زمان اولین اتفاق استفاده می شود. و بعمین دلیل در تحلیلهای قابلیت اطمینان کاربرد زیادی دارد.
اگر متغیر تصادفی ای که نشان دهندة مدت زمانی که یک مؤلفه خراب می شود، در نظر گرفته شود. آنگاه احتمال اینکه مؤلفه تا زمان خراب شود عبارتست از:
(29)
و احتمال اینکه مؤلفه تا زمان خراب نشود عبارتست از:
(30)
که به بترتیب تابع عدم اطمینان بخشی و تابع اطمینان بخشی می گویند.
بدین ترتیب اگر تابع چگالی احتمال متغیر تصادفی باشد داریم:
(31)
و
بنابراین داریم:
(33)
یا
(34)
احتمال خرابی بین زمانهای عبارتست از:
(35)
نرخ خرابی یا نرخ خطر(): عبارتست از حد احتمال اینکه مؤلفة تحت تحلیل در فاصلة
خراب شود مشروط به آنکه در زمان سالم باشد. یعنی:
(36)
(37)
محاسبة بر حسب نرخ خطر احتمال وقوع خرابی در واحد زمان:
از معادلة 37 داریم:
(38)
اکنون بکمک روابط 37 و 38 می توان تابع چگالی احتمال متغیر تصادفی را محاسبه نمود:
(39)
در صورتیکه نرخ خرابی ثابت و برابر باشد ()، آنگاه داریم:
(40)
و
(41)
همچنین اگرنرخ خرابی ثابت باشد ()، می توان روابط بین و و را بصورت شکل3 به تصویر کشید:
مثال 7 : میانگین تعویض برای تابع نرمال :
شکست قطعه ای طبق تابع احتمال نرمال با میانگین 7 هفته و انحراف معیار 2 هفته صورت می گیرد. تعیین کنید در فاصله 9 هفته بطور متوسط چند بار ازکارافتادگی پیش خواهد آمد.
برای حل، ابتدا مشخص است که تابع چگالی احتمال زمانهای از کار افتادگی قطعه به صورت زیر است:
سپس برای استفاده از رابطه ، می توان فاصله T را برابر یک هفته اختیار نمود(T=1) و به صورت زیر به محاسبات ادامه داد:
ابتدا چونg(0)=0 ، لذا از رابطه داریم:
نکته : مقدار عددی سطح زیر منحنی نرمال را می توان ازجداول نرمال که در کتابها ی آمار واحتمال آمده است به دست آورد .
بدین ترتیب مقدار عددی به جای جمله انتگرال جایگزین شده و با رعایت همین ترتیب و استفاده متوالی از رابطه، می توان مقادیر g(2)، g(3) ، . . . را محاسبه نمود:
سپس :
آنگاه:
باادامه محاسبات و به طریق مشابه می توان g(9) را به دست آورد، جدول نتایج محاسبات را نشان می دهد.
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
g(n)
0
0.001
0.006
0.023
0.067
0.159
0.310
0.504
0.698
0.88
جدول : نتایج محاسبات عددی تابع تعویض برای تابع احتمال نرمال با میانگین 7 و انحراف معیار 2 هفته
چنانکه از جدول مشاهده می گردد، در فاصله 9 هفته بطور متوسط 868% از کار افتادگی می تواند قابل انتظار باشد.
تناوب تعویض یا حداقل هزینه :
در این قسمت، تعیین حداپتیمان تناوب تعویض پیشگیرا نه قطعات مورد ملاحظه قرار می گیرد. فرض کنیم این تناوب برابرTr باشد، یعنی اینکه عمل تعویض پیشگیرا نه قطعات بطور مرتب و در فواصل زمانی Tr انجام یابد. در این صورت متوسط تعداد ازکارافتادگی ها در فاصله زمانی (Tr و 0)، از رابطه، برابر (Tr)g خواهد بود. به این ترتیب علاوه بر تعویض پیشگیرانه ای که در زمان Tr انجام می گیرد، بطورمتوسط به تعداد (Tr)g تعویض نیز به سبب از کار افتادگی در فواصل تعویضات پیشگیرانه، می تواند قابل انتظار باشد.
از آنجا که عمل تعویض پیشگیرا نه مطابق برنامه صورت می گیرد، لذا هزینه تعویض پیشگیرانه ممکن است با هزینه تعویض به موجب از کار افتادگیهای اتفاقی تفاوت داشته باشد. به عنوان مثال عمل تعویض برنامه ریزی شده می تواند در اوقات فراغت (یا ایام تعطیل) انجام یابد، در حالیکه خوابیدگی دستگاه در اثر از کار افتادگی اتفاقی می تواند منشاء زیان واقع گردد. پس چنانچه فرض کنیم هزینه هر بار تعویض پیشگیرانه Cr و هزینه هر تعویض ناشی از خرابی اتفاقی Cf باشد، مجموع هزینه های مربوط به تعویض پیشگیرانه و تعویضات اتفاقی، در فاصله زمانی (Tr و 0) برابر (Tr) Cr+Cdgخواهد بود. لذا متوسط هزینه قابل انتظار در واحد زمان، (Tr)C، عبارتست از:
بطوریکه ملاحظه می شود، متوسط هزینه قابل انتظار در واحد زمان تابعی از تناوب تعویض پیشگیرانه، (Tr)، است. بنابراین حداپتیمان تناوب تعویض پیشگیرانه را می بایست چنان تعیین نمود که مقدار (Tr)C در رابطه حداقل شود. برای این منظور، چنانچه تابع تعویض (t)g از رابطه بدست آید، می توان با قرار دادن آن در رابطه مقدار t (یا Tr) که C(t) را حداقل نماید، تعیین نمود. درغیراینصورت می بایست با محاسبه عددی تابع تعویض از رابطه، قرار دادن آن در رابطه و محاسبه عددی (t)C، حداقل آنرا تعیین و به این ترتیب حداپتیمال تناوب تعویض پیشگیرانه را مشخص نمود.
مثال 8 : تناوب بهینه تعویض برای تابع احتمال نمائی
برای قطعه ای که از کار افتادگی آن مطابق با تابع توزیع نمائی صورت می پذیرد، چنانکه در مثال قبل (میانگین تعویض برای تابع نمائی) ملاحظه شد، از رابطه داریم:
که با جایگزینی آن در رابطه خواهیم داشت:
مشتق اول عبارت فوق به صورت زیر است:
یعنی:
مشتق دوم نیز متعاقباً به صورت زیر خواهد بود:
زیرا زمان t و هزینه تعویض Cr هر دو مقادیر مثبتی هستند. شکل نیز منحنی نمایش تابع(t)C را نشان می دهد. چنانکه از این شکل و یا روابط و ملاحظه می گردد، تناوب تعویض پیشگیرانه بینهایت، حداقل هزینه را ایجاب می نماید. به بیان دیگر، برای قطعاتی که زمان شکست آنها از تابع توزیع نمائی تبعیت دارد، هیچگونه تعویض پیشگیرانه ای موجب تامین حداقل هزینه نخواهد بود، بلکه می بایست قطعه را به محض از کار افتادگی تعویض نمود.
شکل: منحنی نمایش تغییرات متوسط هزینه در واحد زمان نسبت به زمان تعویض پیشگیرانه برای تابع احتمال نمائی
مثال 9 :تناوب بهینه تعویض با تابع احتمال نرمال
شکست قطعه ای طبق تابع احتمال نرمال با میانگین 7 هفته و انحراف معیار 2 هفته صورت می گیرد. اگر هزینه هر بار تعویض پیشگیرانه 10000 ریال و هزینه هر تعویض ناشی از خرابی اتفاقی قطعه( منجمله هزینه ناشی از خوابیدگی دستگاه) 30000 ریال باشد، مطلوبست تعیین تناوب بهینه تعویض قطعه بنحوی که حداقل متوسط هزینه تعویض در واحد زمان تحمیل گردد.